Аргументы Зенона вскрыли внутренние противоречия, которые имели

место в сложившихся математических теориях. Тем самым факт существо-

вания математики был поставлен под сомнение. Какими же путями разре-

шались противоречия, выявленные Зеноном ?

     Простейшим выходом  из создавшегося положения бал отказ от абс-

тракций в пользу того, что можно непосредственно проверить с помощью

ощущений. Такую позицию занял софист Протагор. Он считал, что "мы не

можем представить себе ничего прямого или круглого в том смысле, как

представляет эти термины геометрия; в самом деле, круг касается пря-

мой не в одной точке".  Таким образом,  из математики следует убрать

как ирреальные:  представления  о  бесконечном числе вещей,  так как

никто не может считать до бесконечности;бесконечную делимость,  пос-

кольку она  неосуществима практически и т.д.  Таким путем математику

можно сделать неуязвимой для рассуждений Зенона, но при этом практи-

чески упраздняется теоретическая математика. Значительно сложнее бы-

ло построить систему фундаментальных положений математики, в которой

бы выявленные Зеноном противоречия не имели бы места. Эту задачу ре-

шил Демокрит, разработав концепцию математического атомизма.

     Демокрит бал,  по мнению Маркса, "первым энциклопедическим умом

среди греков".  Диоген Лаерций (III в. н.э.) называет 7О его сочине-

ний, в которых были освещены вопросы философии,  логики, математики,

космологии, физики, биологии, общественной жизни, психологии, этики,

педагогики, филологии, искусства, техники и другие. Аристотель писал

о нем: "Вообще, кроме поверхностных изысканий, никто ничего не уста-

новил, исключая Демокрита.  Что же касается его, то получается такое

впечатление, что он предусмотрел все,  да и в методе  вычислений  он

выгодно отличается от других".

     Вводной частью научной системы Демокрита была "каноника", в ко-

торой формулировались и обосновывались принципы атомистической фило-

софии. Затем следовала физика, как наука о различных проявлениях бы-

тия, и этика.  Каноника входила в физику в качестве исходного разде-

ла, этика же строилась как порождение физики.  В философии Демокрита

прежде всего  устанавливается различие между "подлинно сущим" и тем,

что существует только в "общем мнении".  Подлинно  сущими  считались

лишь атомы и пустота. Как подлинно сущее, пустота (небытие) есть та-

кая же реальность,  как атомы (бытие). "Великая пустота" безгранична

и заключает в себе все существующее, в ней нет ни верха, ни низа, ни

края, ни центра,  она делает прерывной материю и возможным ее движе-

ние. Бытие  образуют  бесчисленные мельчайшие качественно однородные

первотельца, различающиеся между собой по внешним  формам,  размеру,

положению и порядку,  они далее неделимы вследствие абсолютной твер-

дости и отсутствия в них пустоты и "по  величине  неделимы".  Атомам

самим по себе свойственно непрестанное движение,  разнообразие кото-

рого определяется бесконечным разнообразием  форм  атомов.  Движение

атомов вечно  и  в конечном итоге является причиной всех изменений в

мире.

     Задача научного познания, согласно Демокриту, чтобы наблюдаемые

явления свести к области "истинного сущего" и дать им объяснение ис-

ходя из  общих принципов атомистики.  Это может быть достигнуто пос-

редством совместной деятельности ощущений и разума. Гносеологическую

позицию  Демокрита Маркс сформулировал следующим образом:  "Демокрит

не только не удалялся от мира, а, наоборот, был эмпирическим естест-

воиспытателем".  Содержание исходных философских принципов и гносео-

логические установки определили основные черты научного  метода  Де-

мокрита:

     а) В познании исходить от единичного;

     б) Любые  предмет  и  явление разложимы до простейших элементов

(анализ) и объяснимы исходя из них (синтез);

     в) Различать существование "по истине" и "согласно мнению";

     г) Явления действительности - это отдельные фрагменты  упорядо-

ченного космоса,  который  возник и функционирует в результате дейс-

твий чисто механической причинности.

     Математика по  праву должна считаться у Демокрита первым разде-

лом собственно физики и следовать непосредственно  за  каноникой.  В

самом деле, атомы качественно однородны и их первичные свойства име-

ют количественный характер.  Однако было бы  неправильно  трактовать

учение Демокрита как разновидность пифагореизма,  поскольку Демокрит

хотя и сохраняет идею господства в мире математической закономернос-

ти, но  выступает с критикой априорных математических построений пи-

фагорейцев, считая, что число должно выступать не законодателем при-

роды, а извлекаться из нее. Математическая закономерность выявляется

Демокритом из явлений действительности,  и в этом смысле он предвос-

хищает идеи математического естествознания.  Исходные начала матери-

ального бытия выступают у Демокрита в значительной степени как мате-

матические объекты,  и  в  соответствии  с этим математике отводится

видное место в системе мировоззрения как науке о первичных свойствах

вещей. Однако  включение  математики  в  основание мировоззренческой

системы потребовало ее перестройки,  приведения математики  в  соот-

ветствие с исходными философскими положениями,  с логикой, гносеоло-

гией, методологией научного исследования.  Созданная  таким  образом

концепция математики,  называемая концепцией математического атомиз-

ма, оказалась существенно отличной от предыдущих.

     У Демокрита все математические объекты (тела, плоскости, линии,

точки) выступают  в  определенных  материальных  образах.  Идеальные

плоскости, линии,  точки в его учении отсутствуют. Основной процеду-

рой математического атомизма является разложение геометрических  тел

на тончайшие  листики  (плоскости),  плоскостей - на тончайшие нитки

(линии), линий - на мельчайшие зернышки (атомы).  Каждый атом  имеет

малую, но ненулевую величину и далее неделим. Теперь длина линии оп-

ределяется как сумма содержащихся в ней неделимых частиц. Аналогично

решается вопрос  о взаимосвязи линий на плоскости и плоскостей в те-

ле. Число атомов в конечном объеме пространства не бесконечно,  хотя

и настолько велико,  что недоступно чувствам. Итак, главным отличием

учения Демокрита от рассмотренных ранее является отрицание им беско-

нечной делимости. Таким образом он решает проблему правомерности те-

оретических построений математики,  не сводя их к чувственно воспри-

нимаемым образам, как это делал Протагор. Так, на рассуждения Прота-

гора о касании окружности и прямой Демокрит  мог  бы  ответить,  что

чувства, являющиеся  отправным критерием Протагора,  показывают ему,

что чем точнее чертеж, тем меньше участок касания; в действительнос-

ти же этот участок настолько мал, что не поддается чувственному ана-

лизу, а относится к области истинного познания.

     Руководствуясь положениями  математического атомизма,  Демокрит

проводит ряд конкретных математических исследований и достигает  вы-

дающихся результатов (например,  теория математической перспективы и

проекции). Кроме того, он сыграл, по свидетельству Архимеда, немало-

важную роль  в доказательстве Эвдоксом теорем об объеме конуса и пи-

рамиды. Нельзя с уверенностью сказать, пользовался ли он при решении

этой задачи методами анализа бесконечно малых.  А.О.Маковельский пи-

шет: "Демокрит вступил на путь,  по которому дальше пошли Архимед  и

Кавальери. Однако, подойдя вплотную к понятию бесконечно малого, Де-

мокрит не сделал последнего решительного шага. Он не допускает безг-

раничного увеличения числа слагаемых,  образующих в своей сумме дан-

ный объем. Он принимает лишь чрезвычайно большое, не поддающееся ис-

числению вследствие своей огромности число этих слагаемых".

     Выдающимся достижением Демокрита в математике явилась также его

идея о построении теоретической математики как системы.  В зародыше-

вой форме она представляет собой  идею  аксиоматического  построения

математики, которая затем была развита в методологическом плане Пла-

тоном и получила логически развернутое положение у Аристотеля.